電磁力

【電験三種 独学講座〜理論編〜】2-6. インダクタンス

2-6. インダクタンス

コイルという物は、とにかく変化を嫌います。電流や磁束の大きさが変わればそれをうち消そうと逆方向の電流や磁束を流そうとします。ただし、ずっと流れるものではなく、打ち消そうとするのは一瞬です。ある程度流れてしまえば、それを平常と認識して受け入れます。少々イメージしづらいところかもしれませんが、いくつかの公式を組み合わせれば大抵の問題は解けてしまいます。

自己インダクタンス

コイルに電流を流すと、コイルの内部の磁界も変化します。すると、コイルの内部の磁界を維持しようと、それを打ち消すような磁界を作り出そうとします。そのためには、逆向きの起電力を発生させ、電流を流す必要があります。この起電力のことを自己誘導起電力と言います。

自己誘導起電力の説明図

ここで、とても重要な式として下記の式が成り立ちます。

$$e=-N \frac{ΔΦ}{Δt}[V]$$

これは、自己誘導起電力を求める式です。Δは差を表す記号です。変化する時間が短いほど、変化する量が多いほど、自己誘導起電力は大きくなるということです。また、Nはコイルの巻数なので、たくさん巻いているコイルほど影響力は大きくなります。短い時間で一気に強い負荷をかけたほうが、反発する力は強くなりますよね。そのイメージでこの式を覚えてください。

また、この自己誘導起電力は、電流の変化からも求める事ができます。

$$e=-L \frac{ΔI}{Δt}[V]$$

Lは比例定数で、コイルの性能値を表すものと思ってください。このLを自己インダクタンスと呼び、単位を[H}(ヘンリー)で表します。また、この2式はどちらもe=なので、等式で表現する事ができます。

$$-N \frac{ΔΦ}{Δt}=-L \frac{ΔI}{Δt}$$

Δtを両辺から消して体裁を整えると、以下のような等式になります。

重要公式

$$LΔI=NΔΦ$$

コイルが一つしかない場合はこの式だけで考える事ができます。自己誘導起電力を求める2式からも求められるという事を意識しておいてください。実際のところ、毎回導いても良いくらいです。

相互インダクタンス

次に、コイルが複数並んでいる場合を考えてみましょう。下図のコイル1だけに電流を流すと、磁束が発生します。コイルは並んでいるので、コイル2の磁束も変化する事になります。つまり電流を流していないコイルにも誘導起電力が発生する事になります。これを相互誘導と言います。

総合誘導の図

コイル2の誘導起電力e2は、コイル2のコイル巻数をN2、コイル2の磁束変化量をΔΦ2とすると、

$$e_2=-N_2\frac{ΔΦ_2}{Δt}$$

と表せます。さらに隣のコイルの性能を表す比例定数として、M(相互インダクタンス)[H]を使って次のように表現できます。電流の値はコイル1に流す電流(I1)である事にご注意ください。あくまで相互インダクタンスは自分以外のコイルからの影響を表しています。

$$e_2=-M \frac{ΔI_1}{Δt}$$

上記の式を自己インダクタンスと同じように等式で結び、下記のような式に変形することも可能です。

重要公式

$$MΔI_1=N_2ΔΦ_2$$

さらに、自己インダクタンスと相互インダクタンスの関係式として覚えておくべきなのは、次の式です。kは結合係数といって漏れ磁束の割合を表します。(漏れが一切ない場合はk=1として計算します。)

$$M= k\sqrt{L_1L_2}$$

コイル1から見た式と、コイル2から見た式を変形させて、上記の式を求めることも可能ですが、ここでは割愛します。特徴的な公式なので、覚えやすいかと思います。

合成自己インダクタンス

最後に、インダクタンスの合成について簡単にご説明します。

2つのコイルの接続方法に関しては、二種類あります。コイル1とコイル2の向きが同じ(作り出す磁束の向きが同じ)場合と、向きが異なる場合です。前者を和動接続、後者を差動接続と呼びます。それぞれ合成インダクタンスを求める式が違います。

重要公式

和動接続の場合
$$L=L_1+L_2+2M$$

差動接続の場合
$$L=L_1+L_2-2M$$

Mを2倍する意味は、コイル1から見たコイル2の影響と、コイル2から見たコイル1の影響ともにMのため、2回足し引きする必要があるというわけです。

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